I4AESY11 - Analyse des Systèmes Non Linéaires
Topic outline
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Enseignant : Yassine ARIBA.
Les enseignements d'Automatique que vous avez vus jusqu'à maintenant portaient sur des méthodes de modélisation, d'analyse et de synthèse réservées aux systèmes linéaires invariants (SLI, ou LTI system en anglais). Ce cours s'intéresse à une classe de systèmes bien plus générale : les systèmes non-linéaires. Contrairement au cas linéaire, la diversité (et c'est peu dire ! ) des modèles non-linéaires fait qu'il existe peu de méthodologies génériques adaptées à tous les systèmes de cette classe. Nous verrons dans ce cours des méthodes pour analyser le comportement (trajectoire de l'état) et la stabilité de tels systèmes.
Pré-requis:
- Toutes les mathématiques depuis le CP!
- Cours de Systèmes Bouclés en 2IMACS (étude des SLI avec une approche fréquentielle classique).
- Cours de Modélisation Analyse des Systèmes Linéaires Continus et celui sur la Commande des SLI en 3IMACS (étude des SLI avec une approche espace d'état).
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Représentation d'un système d'ordre 2 dans le plan de phase
- tracé du champ de vecteurs
- tracé de trajectoires
- exemple du pendule
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Pour préparer ce sujet, il convient de relire les chapitres 1 et 2 du cours. En particulier, le calcul des points d'équilibre, la linéarisation et le tracé du portrait de phase du système. Après les calculs, le système devra être simulé sur le logiciel MATLAB/Simulink.
Pour faciliter le démarrage des simulations et gagner du temps, un script MATLAB est fourni, ainsi qu'une "ébauche" de modèle Simulink. Il n'est a priori pas nécessaire de modifier le script (mais analysez le pour le comprendre!), par contre le Simulink est à compléter.
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Comme pour le premier TD, il convient de relire les chapitres 1 et 2 pour retravailler le calcul d'un point d'équilibre et le tracé du portrait de phase, en particulier dans le cas des systèmes linéaires. Les calculs devront être vérifiés et complétés par des simulations.
Pour faciliter le démarrage des simulations et gagner du temps, un script MATLAB est fourni, ainsi qu'un modèle Simulink. Il suffit de lancer le script. Analyser son contenu pour comprendre ce qu'il fait (et comment). Faites des simulations pour différentes valeurs de
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Ce sujet est basé sur le chapitre 3 du cours. Il traite sur 2 exercices l'analyse de stabilité d'un système nonlinéaire par la méthode de Lyapunov. Le principe d'invariance de LaSalle et l'estimation du bassin d'attraction sont également considérés.
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Cette seconde séance sur la méthode de Lyapunov est plus particulièrement dédiée sur le cas des systèmes linéaires. Le chapitre de cours associé reste le chapitre 3.
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Cette séance est la troisième séance sur l'analyse de stabilité par la méthode de Lyapunov. La première et la seconde méthodes sont utilisées. Une étude sur l'estimation du bassin d'attraction est également proposée.
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Ce sujet est basé sur le chapitre 4 du cours. On cherche à déterminer la condition d'existence d'un cycle limite pour un système commande en boucle fermée avec une fonction saturation en entrée de commande. L'ensemble des notions vues dans le chapitre seront exploitées. Pour faciliter le démarrage et gagner du temps, un script MATLAB et un modèle Simulink sont fournis. Seul le script est à compléter avec vos calculs.
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Cette séance est la seconde séance sur la méthode du premier harmonique (chapitre 4 du cours). Un système nonlinéaire est étudié en reformulant son modèle sous forme d'un système en boucle fermée avec une séparation entre une partie linéaire et une partie nonlinéaire. L'objectif est de prédire l'existence d'un cycle limite. Pour faciliter le démarrage et gagner du temps, un script MATLAB et un modèle Simulink sont fournis.
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Ce sujet est basé sur le chapitre 5 du cours. Il s'intéresse à la synthèse d'une loi de commande par retour d'état pour linéariser un système et ensuite placer les pôles du système en boucle fermée linéaire résultant. Vous devrez simuler la commande sur Simulink. Le modèle Simulink du système nonlinéaire à étudier est fourni.
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Ce dernier TD porte également sur le chapitre 5. Il s'intéresse à la synthèse d'une loi de commande par backstepping pour stabiliser un système nonlinéaire de lévitation magnétique. Le modèle Simulink du système à étudier est fourni afin de tester la loi de commande proposée.
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